當(dāng)數(shù)學(xué)教師在黑板上寫(xiě)下“ε-δ語(yǔ)言”的定義時(shí)，學(xué)生的眼神往往在困惑與敬畏間搖擺。高等數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)語(yǔ)言，其嚴(yán)謹(jǐn)性如同精密儀器的齒輪，確保每一個(gè)結(jié)論都經(jīng)得起邏輯的推敲；而學(xué)生的接受度則像土壤的肥力，決定著知識(shí)之樹(shù)能否真正扎根生長(zhǎng)。平衡二者，既是教學(xué)的藝術(shù)，更是數(shù)學(xué)教育的核心命題。
嚴(yán)謹(jǐn)性是高等數(shù)學(xué)的生命線(xiàn)。從極限的定義開(kāi)始，微積分的每一個(gè)概念都建立在嚴(yán)格的公理體系之上。這種嚴(yán)謹(jǐn)性并非學(xué)者的自矜，而是避免謬誤的屏障。17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家曾因缺乏對(duì)無(wú)窮小量的嚴(yán)格定義，讓微積分陷入“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”。如今，“ε-δ語(yǔ)言”用量化的方式描述極限，看似抽象的符號(hào)背后，是將模糊直覺(jué)轉(zhuǎn)化為精確邏輯的智慧。這種確定性的追求，正是高等數(shù)學(xué)區(qū)別于經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的本質(zhì)特征。
然而，過(guò)度強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)性可能筑起知識(shí)的高墻。當(dāng)教師在第一堂課就拋出實(shí)變函數(shù)的測(cè)度理論，或用拓?fù)鋵W(xué)的公理定義連續(xù)性時(shí)，初學(xué)者往往會(huì)因符號(hào)的洪流望而卻步。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日曾試圖用冪級(jí)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)以規(guī)避無(wú)窮小量，豈知卻讓微積分變得更加晦澀。這提醒我們：嚴(yán)謹(jǐn)性的呈現(xiàn)需要階梯，正如登山者不會(huì)一開(kāi)始就直面懸崖，而是沿著蜿蜒的山路逐步接近峰頂。對(duì)于剛接觸微積分的學(xué)生，用“無(wú)限逼近”的直觀(guān)描述作為跳板，再過(guò)渡到嚴(yán)格定義，遠(yuǎn)比直接灌輸符號(hào)體系更有效。
尋找平衡點(diǎn)需要教學(xué)智慧的創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化。古代數(shù)學(xué)家劉徽用割圓術(shù)推導(dǎo)圓周率，既體現(xiàn)了極限思想的嚴(yán)謹(jǐn)內(nèi)核，又以“割之彌細(xì)，所失彌少”的形象語(yǔ)言讓人易于理解。這種傳統(tǒng)在現(xiàn)代教學(xué)中依然光芒四射：用彈簧振子的運(yùn)動(dòng)解釋正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用人口增長(zhǎng)模型理解微分方程，將抽象概念錨定在具體情境中。更重要的是，要讓學(xué)生看到嚴(yán)謹(jǐn)性的價(jià)值——當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)用洛必達(dá)法則能輕松解決之前束手無(wú)策的極限問(wèn)題，嚴(yán)謹(jǐn)性便不再是枯燥的教條，而是解決問(wèn)題的利器。
高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)像搭建橋梁：一端連著邏輯的彼岸，另一端系著認(rèn)知的此岸。嚴(yán)謹(jǐn)性確保橋梁的堅(jiān)固，接受度則決定橋梁的可達(dá)。那些偉大的數(shù)學(xué)教育家，從來(lái)都是兩種智慧的平衡者。他們既能用ε和δ編織邏輯的網(wǎng)，也能用比喻和實(shí)例點(diǎn)亮理解的燈。當(dāng)學(xué)生最終能在嚴(yán)格定義與直觀(guān)感受之間自由穿梭時(shí)，高等數(shù)學(xué)的理性之樹(shù)，才算真正在他們心中扎下了根。
舉個(gè)例子。曲線(xiàn)的凹凸性是高等數(shù)學(xué)中刻畫(huà)函數(shù)圖像形態(tài)的重要概念，其定義涉及二階導(dǎo)數(shù)與割線(xiàn)性質(zhì)，嚴(yán)謹(jǐn)性極強(qiáng)，但抽象表述易讓學(xué)生望而生畏。教學(xué)中需以直觀(guān)感知為階梯，逐步過(guò)渡到嚴(yán)謹(jǐn)定義，實(shí)現(xiàn)學(xué)科規(guī)范與學(xué)生接受度的平衡。教學(xué)之初，可先以學(xué)生熟悉的具體函數(shù)建立直觀(guān)認(rèn)知，再將模糊感受轉(zhuǎn)化為可量化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，再進(jìn)一步簡(jiǎn)化判斷，引入與導(dǎo)數(shù)的關(guān)聯(lián)。最后通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證。這種“直觀(guān)感知—量化定義—簡(jiǎn)化判定—實(shí)例驗(yàn)證”的路徑，既保留了凹凸性定義的嚴(yán)謹(jǐn)邏輯，又通過(guò)層層遞進(jìn)的引導(dǎo)降低了理解門(mén)檻，讓學(xué)生在“看得懂”的基礎(chǔ)上“說(shuō)得清、用得對(duì)”。
作為一名數(shù)學(xué)教師，在探尋嚴(yán)謹(jǐn)性與接受度平衡點(diǎn)的路上，我一直在前行。
（劉德斌，理學(xué)院副教授，曾獲中國(guó)石油教育學(xué)會(huì)課程思政教學(xué)大賽二等獎(jiǎng)，西南石油大學(xué)教學(xué)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)，躬耕獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)等）